Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ trên đáy là điểm $H$ trên cạnh $AC$ sao cho $AH=\dfrac{2}{3}AC$; mặt phẳng $(SBC)$ tạo với đáy một góc $60^{\circ}$. Thể tích khối chóp $S.ABC$ là
 | $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{12}$ |
 | $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{48}$ |
 | $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{36}$ |
 | $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{24}$ |
Chọn phương án B.
Ta có $S_{ABC}=a^2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$; $N$ là điểm trên đoạn $CM$ sao cho $\dfrac{CN}{CM}=\dfrac{1}{3}$.
Khi đó $HN\parallel AM$.
Mà $\triangle ABC$ đều nên $AM\perp BC\Rightarrow HN\perp BC$ (1).
Mặt khác, vì $SH\perp(ABC)$ nên $BC\perp SH$.
Suy ra $BC\perp(SHN)\Rightarrow BC\perp SN$ (2).
Từ (1) và (2) suy ra $\big((SBC),(ABC)\big)=(HN,SN)=\widehat{SNH}=60^{\circ}$.
Do $\triangle ABC$ đều cạnh $a$ nên $AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$. Suy ra $HN=\dfrac{1}{3}AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$.
Xét $\triangle SHN$ vuông tại $H$ ta có $$\tan\widehat{SNH}=\dfrac{SH}{HN}\Rightarrow SH=HN\cdot\tan\widehat{SNH}=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\cdot\tan60^{\circ}=\dfrac{a}{2}.$$
Vậy $V_{S.ABC}=\dfrac{1}{3}\cdot SH\cdot S_{ABC}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{a}{2}\cdot\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{a^3\sqrt{3}}{24}$.