Chọn phương án A.

Gọi $K$ là trung điểm của $AB$.

Vì tam giác $OAB$ cân tại $O$ nên $OK\perp AB$.
Đồng thời, vì $SO\perp AB$ nên $AB\perp(SOK)$.

Trong mặt phẳng $(SOK)$, dựng $OH\perp SK$.
Vì $AB\perp(SOK)$ nên $AB\perp OH$. Suy ra $OH\perp(SAB)$.
Vậy $OH=\mathrm{d}\big(O,(SAB)\big)=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.

• Xét $\triangle SAO$ ta có: $\sin\widehat{SAO}=\dfrac{SO}{SA}\Rightarrow SO=SA\cdot\sin30^\circ=\dfrac{SA}{2}$.\\
• Xét $\triangle SAB$ ta có: $\sin\widehat{SAB}=\dfrac{SK}{SA}\Rightarrow SK=SA\cdot\sin60^\circ=\dfrac{SA\sqrt{3}}{2}$.
• $\triangle SOK$ vuông tại $O$ nên $OK^2=SK^2-SO^2=\dfrac{SA^2}{2}$.

Xét tam giác $SOK$ ta có $$\begin{aligned}
\dfrac{1}{OH^2}&=\dfrac{1}{OK^2}+\dfrac{1}{OS^2}=\dfrac{2}{SA^2}+\dfrac{4}{SA^2}\\
\Leftrightarrow\dfrac{3}{a^2}&=\dfrac{6}{SA^2}\\
\Leftrightarrow2a^2&=SA^2\\
\Leftrightarrow a\sqrt{2}&=SA.
\end{aligned}$$