Chọn phương án C.

Đặt $a=2x^2-4x+9$, $b=x^2+5x+1$.

Ta có $a-b=x^2-9x+8=(x-1)(x-8)$. Suy ra $(x-1)(8-x)=b-a$.

Bất phương trình đã cho tương đương với $2023^a-2023^b-(b-a)<0$ hay $2023^a+a<2023^b+b$ (1).

Xét hàm số $f(x)=2023^x+x$. Ta có $f'(x)=2023^x\cdot\ln2023+1>0,\,\forall x\in\mathbb{R}$.

Suy ra hàm số đơn điệu tăng trên $\mathbb{R}$.

Từ (1) suy ra $\begin{aligned}[t]
f(a)<f(b)&\Rightarrow a<b\\
&\Leftrightarrow2x^2-4x+9<x^2+5x+1\\ &\Leftrightarrow x^2-9x+8<0\\
&\Leftrightarrow1<x<8.
\end{aligned}$

Nên bất phương trình có $6$ nghiệm nguyên.