Chọn phương án D.

Ta có $$\begin{array}{cccc}
&\big(xy^2+x-2y-1\big)\log y&=&\log\dfrac{2y-x+3}{x}\\
&\big(xy^2+x-2y-1\big)\log y-\log y^2&=&\log\dfrac{2y-x+3}{x}-\log y^2\\
\Leftrightarrow&\big(xy^2+x-2y-3\big)\log y&=&\log\dfrac{2y-x+3}{xy^2}\\
\Leftrightarrow&\big(xy^2\big)\log y-\big(2y-x+3\big)\log y&=&\log\big(2y-x+3\big)-\log\big(xy^2\big)\\
\Leftrightarrow&\big(xy^2\big)\log y+\log\big(xy^2\big)&=&\big(2y-x+3\big)\log y+\log\big(2y-x+3\big)\,(1).
\end{array}$$
Đặt $f(x)=x\log y+\log x=\log\big(x\cdot y^x\big)$.
Ta có $f'(x)=\dfrac{1}{x\cdot y^x\cdot\ln10}>0,\,\forall x,\,y>0$.
Suy ra $f(x)$ đồng biến trên khoảng $(0;+\infty)$.

Từ (1) suy ra $\begin{aligned}[t]
f\big(xy^2\big)=f\big(2y-x+3\big)&\Leftrightarrow xy^2=2y-x+3\\
&\Leftrightarrow\big(y^2+1\big)x=2y+3\\
&\Leftrightarrow x=\dfrac{2y+3}{y^2+1}.
\end{aligned}$

Xét hàm số $g(y)=\dfrac{2y+3}{y^2+1}$ trên $(1;+\infty)$, ta có bảng biến thiên:

Để tồn tại số thực số thực $y$ lớn hơn $1$ thì $0<x<\dfrac{5}{2}$.

Vậy có $2$ số nguyên dương $x$ thỏa mãn là $x=1$ và $x=2$.