Chọn phương án D.

Với $\forall x\in\mathbb{R}$ ta có $$\begin{array}{cccc}
&f(x)+x\cdot f'(x)&=&4x^3-6x^2\\
\Leftrightarrow&(x)'\cdot f(x)+x\cdot f'(x)&=&4x^3-6x^2\\
\Leftrightarrow&\big[x\cdot f(x)\big]'&=&4x^3-6x^2\\ \Leftrightarrow&x\cdot f(x)&=&x^4-2x^3+C.
\end{array}$$
Với $x=0$ ta có $C=0$.

Do đó $f(x)=x^3-2x^2$. Suy ra $f'(x)=3x^2-4x$.

Phương trình hoành độ giao điểm của $y=f(x)$ và $y=f'(x)$: $$x^3-2x^2=3x^2-4x\Leftrightarrow x^3-5x^2+4x=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}
&x=0\\
&x=1\\
&x=4.
\end{aligned}\right.$$
Suy ra diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong $y=f(x)$ và $y=f'(x)$ là $$\begin{aligned}
S&=\displaystyle\int\limits_0^4\big|f(x)-f'(x)\big|\mathrm{\,d}x\\
&=\displaystyle\int\limits_0^1\big(x^3-5x^2+4x\big)\mathrm{\,d}x-\int\limits_1^4\big(x^3-5x^2+4x\big)\mathrm{\,d}x\\
&=\dfrac{7}{12}+\dfrac{45}{4}=\dfrac{71}{6}.
\end{aligned}$$