Chọn phương án B.

$\begin{aligned}
f(x)\ln f(x)=x\big(f(x)-f'(x)\big)&\Leftrightarrow\ln f(x)=x\left(1-\dfrac{f'(x)}{f(x)}\right)\\
&\Leftrightarrow\ln f(x)=x\left(1-\big(\ln f(x)\big)^{\prime}\right)\\
&\Leftrightarrow x^{\prime}\cdot\ln f(x)+x\cdot\big(\ln f(x)\big)^{\prime}=x\\
&\Leftrightarrow\big(x\ln f(x)\big)^{\prime}=x.
\end{aligned}$

Lấy nguyên hàm hai vế ta được $x\ln f(x)=\dfrac{x^2}{2}+C$.

• Với $x=1$ ta có $1\ln f(1)=\dfrac{1}{2}+C$
• Với $x=3$ ta có $3\ln f(3)=\dfrac{9}{2}+C$

Theo bài ra thì $f(1)=f(3)$ hay $\ln f(1)=\ln f(3)$, từ đó suy ra $$3\left(\dfrac{1}{2}+C\right)=\dfrac{9}{2}+C\Leftrightarrow C=\dfrac{3}{2}.$$
Vậy $x\ln f(x)=\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{3}{2}$.

Với $x=2$ ta có $$2\ln f(2)=\dfrac{2^2}{2}+\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow\ln f(2)=\dfrac{7}{4}\Leftrightarrow f(2)=\mathrm{e}^{\tfrac{7}{4}}\approx5,75.$$