Trường hợp 1. $\Delta>0$: Phương trình có $2$ nghiệm thực $z_1,\,z_2\in\mathbb{R}$. Khi đó $$\begin{aligned}
\big|z_1-2\big|=2&\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}
&z_1-2=2\\
&z_1-2=-2
\end{aligned}\right.\\
&\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}
&z_1=4\\
&z_1=0
\end{aligned}\right.\\
\big|z_2+1-4i\big|=4&\Rightarrow\big(z_2+1\big)^2+(-4)^2=16\\
&\Leftrightarrow z_2+1=0\\
&\Leftrightarrow z_2=-1.
\end{aligned}$$

• Với $z_1=4,\,z_2=-1$ ta có $$\begin{cases}z_1+z_2=-a\\ z_1z_2=b\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}a=-3\\ b=-4\end{cases}\,(1)$$
• Với $z_1=0,\,z_2=-1$ ta có $$\begin{cases}z_1+z_2=-a\\ z_1z_2=b\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}a=1\\ b=0\end{cases}\,(2)$$

Trường hợp 2. $\Delta<0$: Phương trình có $2$ nghiệm phức $z_1=x+yi$, $z_2=x-yi$. Khi đó $$\begin{aligned}
\begin{cases}
\left|z_1-2\right|=2\\
\left|z_2+1-4i\right|=4
\end{cases}&\Leftrightarrow\begin{cases}
\left|x+yi-2\right|=2\\
\left|x-yi+1-4i\right|=4
\end{cases}\\
&\Leftrightarrow\begin{cases}
(x-2)^2+y^2=4\\
(x+1)^2+(y+4)^2=16
\end{cases}\\
&\Leftrightarrow\begin{cases}
x^2+y^2-4x=0 &(3)\\
x^2+y^2+2x+8y+1=0 &(4)
\end{cases}
\end{aligned}$$
Lấy (4) trừ (3) vế theo vế ta được: $$\begin{aligned}
6x+8y+1=0&\Rightarrow y=\dfrac{-6x-1}{8}\\
&\Rightarrow x^2+\left(\dfrac{6x+1}{8}\right)^2-4x=0\\
&\Leftrightarrow100x^2-244x+1=0\\
&\Leftrightarrow\begin{cases}
x_1=\dfrac{61+4\sqrt{231}}{50}\\
x_2=\dfrac{61-4\sqrt{231}}{50}
\end{cases}\\
&\Leftrightarrow\begin{cases}
y_1=\dfrac{-416-24\sqrt{231}}{400}\\
y_2=\dfrac{-416+24\sqrt{231}}{400}
\end{cases}\,(5)
\end{aligned}$$