Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$. Gọi $M$ là trung điểm của $BB'$. Mặt phẳng $(MDC')$ chia khối hộp chữ nhật thành hai khối đa diện, một khối chứa đỉnh $C$ và một khối chứa đỉnh $A'$. Gọi $V_1,\,V_2$ lần lượt là thể tích hai khối đa diện chứa $C$ và $A'$. Tỉ số $\dfrac{V_1}{V_2}$ bằng
 | $\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{7}{17}$ |
 | $\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{7}{24}$ |
 | $\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{17}{24}$ |
 | $\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{7}{12}$ |
Chọn phương án A.
- Trong mặt phẳng $(BCC'B')$, gọi $N=C'M\cap CB$.
- Trong mặt phẳng $(BCDA)$, gọi $K=AB\cap DN$.
Vì $BM\parallel CC'$ nên hai tam giác $NBM$ và $NCC'$ đồng dạng.
Do đó $\dfrac{NB}{NC}=\dfrac{NM}{NC'}=\dfrac{BM}{CC'}=\dfrac{BM}{BB'}=\dfrac{1}{2}$.
Tương tự, hai tam giác $NBK$ và $NCD$ đồng dạng. Do đó $\dfrac{NB}{NC}=\dfrac{NK}{ND}=\dfrac{1}{2}$.
Khi đó, $NB=\dfrac{1}{2}NC\Rightarrow BC=\dfrac{1}{2}NC\Rightarrow NC=2BC=2$.
Xét hình chóp $N.CC'D$ ta có $$V_{N.CC'D}=\dfrac{1}{3}\cdot S_{CC'D}\cdot NC=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1^2}{2}\cdot2=\dfrac{1}{3}$$
Mặt khác, ta lại có $$\dfrac{V_{N.BMK}}{V_{N.CC'D}}=\dfrac{NB}{NC}\cdot\dfrac{NM}{NC'}\cdot\dfrac{NK}{ND}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}.$$
Vậy $V_{N.BMK}=\dfrac{1}{8}\cdot V_{N.CC'D}=\dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{24}$.
Khi đó $V_2=V_{ABCD.A'B'C'D'}-V_1=1^3-\dfrac{7}{24}=\dfrac{17}{24}$.
Vậy $\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{7}{17}$.