Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $AB=a$, $AC=2a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SB$ tạo với mặt đáy một góc $60^\circ$. Gọi $M,\,N$ lần lượt là trung điểm của $SB$ và $BC$. Thể tích khối chóp $A.SCNM$ bằng
 | $\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^3$ |
 | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}a^3$ |
 | $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}a^3$ |
 | $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^3$ |
Chọn phương án A.
Ta có $\big(SB,(ABC)\big)=\big(SB,AB\big)=\widehat{SBA}=60^\circ$.
Xét tam giác vuông $SAB$ ta có $$\begin{aligned}
\tan\widehat{SBA}=\dfrac{SA}{BA}\Rightarrow SA&=BA\cdot\tan\widehat{SBA}\\
&=a\cdot\tan60^\circ=a\sqrt{3}.
\end{aligned}$$
Thể tích khối chóp $S.ABC$: $$V_{S.ABC}=\dfrac{1}{3}S_{ABC}\cdot SA=\dfrac{1}{3}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot2a\right)\cdot a\sqrt{3}=\dfrac{a^3\sqrt{3}}{3}.$$
Suy ra $V_{B.AMN}=\dfrac{1}{4}V_{B.ASC}$.
Do đó: $V_{A.SCNM}=\dfrac{3}{4}V_{B.ASC}=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{a^3\sqrt{3}}{3}=\dfrac{a^3\sqrt{3}}{4}$.