Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $2a$, hình chiếu của $A'$ trên mặt phẳng $(ABC)$ là trung điểm cạnh $BC$. Biết góc giữa hai mặt phẳng $(ABA')$ và $(ABC)$ bằng $45^\circ$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ bằng
 | $\dfrac{3}{2}a^3$ |
 | $\dfrac{1}{2}a^3$ |
 | $2\sqrt{3}a^3$ |
 | $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}a^3$ |
Chọn phương án A.
Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Khi đó $A'M\perp(ABC)$.
Gọi $N,\,H$ lần lượt là trung điểm của $AB,\,NB$.
- Vì $\triangle ABC$ đều, cạnh $2a$ nên $CN=\dfrac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.
- Vì $MH$ là đường trung bình của $\triangle BCN$ nên $MH=\dfrac{NC}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Vì $\begin{cases}
AB\perp HM\\ AB\perp A'M
\end{cases}\Rightarrow AB\perp HA'$.
AB=(A'AB)\cap(CAB)\\
AB\perp HA'\\
AB\perp HM
\end{cases}$. Suy ra $\big((A'AB),(CAB)\big)=(HA',HM)=\widehat{A'HM}$.
Theo đề bài thì $\widehat{A'HM}=45^\circ$.
Xét tam giác $A'HM$ vuông tại $M$ ta có $$\begin{aligned}
\tan\widehat{A'HM}=\dfrac{A'M}{HM}\Rightarrow A'M&=HM\cdot\tan\widehat{A'HM}\\
&=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\tan45^\circ=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.
\end{aligned}$$
Vậy thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ bằng $$V=S_{ABC}\cdot A'M=\left[(2a)^2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right]\cdot\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3}{2}a^3.$$