Chọn phương án B.

Điều kiện: $y>0$.
Bất phương trình đã cho tương đương với $$\begin{array}{llll}
&\log_3\big(2+x+2xy-x^2\big)&=&\log_{\sqrt{3}}y\\
\Leftrightarrow&\log_3\big(2+x+2xy-x^2\big)&=&\log_{3^{\tfrac{1}{2}}}y\\
\Leftrightarrow&\log_3\big(2+x+2xy-x^2\big)&=&2\log_3y\\
\Leftrightarrow&\log_3\big(2+x+2xy-x^2\big)&=&\log_3y^2\\
\Leftrightarrow&2+x+2xy-x^2&=&y^2\\
\Leftrightarrow&y^2-2xy+x^2-2-x&=&0\\
\Leftrightarrow&(y-x)^2&=&x+2\,\,(*)
\end{array}$$
Ta xét các trường hợp sau:

• $x+2<0\Leftrightarrow x<-2$: Phương trình (*) vô nghiệm.
• $x+2=0\Leftrightarrow x=-2$: $$(*)\Leftrightarrow(y-x)^2=0\Leftrightarrow y=x=-2\,(\text{loại})$$
• $x+2>0\Leftrightarrow x>-2$: Phương trình (*) có $2$ nghiệm phân biệt $y=x+\sqrt{x+2}$ và $y=x-\sqrt{x+2}$.
  Để phương trình đã cho có nghiệm dương duy nhất thì $$\begin{aligned}x-\sqrt{x+2}\leq0&\Leftrightarrow\sqrt{x+2}\geq x\\ &\Leftrightarrow\begin{cases}x\geq0\\ x+2\geq x^2\end{cases}\\ &\Leftrightarrow\begin{cases}x\geq0\\ x^2-x-2\leq0 \end{cases}\\ &\Leftrightarrow\begin{cases}x\geq0\\ -1\leq x\leq2\end{cases}\\ &\Leftrightarrow0\leq x\leq2.\end{aligned}$$

Vậy $x\in\left\{0;1;2\right\}$ là các giá trị nguyên cần tìm.