Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x,y)$ với $y\in\big[0;2021^3\big]$ thỏa mãn phương trình $\log_4\left(x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x+\dfrac{1}{4}}\right)=\log_2(y-x)$?
 | $90854$ |
 | $90855$ |
 | $2021^2$ |
 | $2021^2-1$ |
Chọn phương án B.
Điều kiện: $\begin{cases}
y-x>0\\
x+\dfrac{1}{4}\geq0\\
x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x+\dfrac{1}{4}}>0.
\end{cases}$
Vì $\begin{aligned}[t]
x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x+\dfrac{1}{4}}&=x+\dfrac{1}{4}+\sqrt{x+\dfrac{1}{4}}+\dfrac{1}{4}\\
&=\sqrt{x+\dfrac{1}{4}}^2+2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{x+\dfrac{1}{4}}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\\
&=\left(\sqrt{x+\dfrac{1}{4}}+\dfrac{1}{2}\right)^2>0,\,\forall x\in\mathbb{R}
\end{aligned}$
nên điều kiện trên tương đương với $y>x\geq-\dfrac{1}{4}$.
Với điều kiện trên, phương trình đã cho trở thành
$$\begin{array}{llll}
&\log_{2^2}\left(\sqrt{x+\dfrac{1}{4}}+\dfrac{1}{2}\right)^2&=&\log_2(y-x)\\
\Leftrightarrow&\log_2\left(\sqrt{x+\dfrac{1}{4}}+\dfrac{1}{2}\right)&=&\log_2(y-x)\\
\Leftrightarrow&\sqrt{x+\dfrac{1}{4}}+\dfrac{1}{2}&=&y-x\\
\Leftrightarrow&x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x+\dfrac{1}{4}}&=&y\\
\Leftrightarrow&\left(\sqrt{x+\dfrac{1}{4}}+\dfrac{1}{2}\right)^2&=&y.
\end{array}$$
Khi đó $\exists m\in\mathbb{N}$ sao cho $\sqrt{x+\dfrac{1}{4}}=\dfrac{2m+1}{2}$.
Theo đó ta có $\begin{cases}
x=m^2+m\\ y=(m+1)^2.
\end{cases}$
Mà $y\in\big[0;2021^3\big]$, cho nên $$\begin{aligned}
(m+1)^2\leq2021^3&\Leftrightarrow m+1\leq2021\sqrt{2021}\\
&\Leftrightarrow0\leq m\leq90854,1.
\end{aligned}$$
Vậy có $90855$ số nguyên $m$.
Ứng với mỗi $m$, ta có duy nhất một cặp số $(x,y)$. Do đó, có $90855$ cặp số $(x,y)$ thỏa đề.