Ngân hàng bài tập
SS
Xét các số thực $x,\,y$ thỏa mãn $x^2+y^2>1$ và $\log_{x^2+y^2}(2x+4y)\geq1$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=3x+y$ bằng
 | $5+2\sqrt{10}$ |
 | $5+4\sqrt{5}$ |
 | $5+5\sqrt{2}$ |
 | $10+2\sqrt{5}$ |
1 lời giải
Chọn phương án C.
Vì cơ số $x^2+y^2>1$ nên $$\begin{aligned}
\log_{x^2+y^2}(2x+4y)\geq1&\Leftrightarrow2x+4y\geq\big(x^2+y^2\big)^1\\
&\Leftrightarrow x^2-2x+y^2-4y\leq0\\
&\Leftrightarrow x^2-2x+1+y^2-4y+4\leq5\\
&\Leftrightarrow(x-1)^2+(y-2)^2\leq5\,\,(1)
\end{aligned}$$
Ta có $\begin{aligned}[t]
P&=3x+y\\
&=3(x-1)+3+(y-2)+2\\
&=3(x-1)+(y-2)+5.
\end{aligned}$
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có $$\begin{array}{llll}
&\big[3(x-1)+(y-2)\big]^2&\leq&\big(3^2+1^2\big)\big[(x-1)^2+(y-2)^2\big]\\
\Leftrightarrow&\big[3(x-1)+(y-2)\big]^2&\leq&50\\
\Leftrightarrow&3(x-1)+(y-2)&\leq&5\sqrt{2}\\
\Leftrightarrow&3(x-1)+(y-2)+5&\leq&5+5\sqrt{2}\\
\Leftrightarrow&P&\leq&5+5\sqrt{2}.
\end{array}$$
&\big[3(x-1)+(y-2)\big]^2&\leq&\big(3^2+1^2\big)\big[(x-1)^2+(y-2)^2\big]\\
\Leftrightarrow&\big[3(x-1)+(y-2)\big]^2&\leq&50\\
\Leftrightarrow&3(x-1)+(y-2)&\leq&5\sqrt{2}\\
\Leftrightarrow&3(x-1)+(y-2)+5&\leq&5+5\sqrt{2}\\
\Leftrightarrow&P&\leq&5+5\sqrt{2}.
\end{array}$$
Vậy giá trị lớn nhất của $P$ là $5+5\sqrt{2}$.