Chọn phương án D.

Ta có $y'=1-\dfrac{3}{x^2}$.
Cho $y'=0\Leftrightarrow1-\dfrac{3}{x^2}=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}x=\sqrt{3}&\in[1;5]\\ x=-\sqrt{3}&\notin[1;5]\end{array}\right.$

Lại có $y(1)=0$, $y(5)=\dfrac{8}{5}$, $y\big(\sqrt{3}\big)=2\sqrt{3}-4$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x+\dfrac{3}{x}-4$ trên đoạn $[1;5]$ là $2\sqrt{3}-4$.