Ngân hàng bài tập
S
Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$. Biết diện tích tứ giác $ABCD$ bằng ba lần diện tích tam giác $SAB$. Tính thể tích khối chóp đã cho.
 | $\dfrac{a^3\sqrt{7}}{18}$ |
 | $\dfrac{a^3\sqrt{7}}{6}$ |
 | $\dfrac{a^3\sqrt{7}}{3}$ |
 | $\dfrac{a^3\sqrt{7}}{12}$ |
1 lời giải
Chọn phương án A.
Theo đề bài ta có $3S_{SAB}=S_{ABCD}=a^2\Leftrightarrow S_{SAB}=\dfrac{a^2}{3}$.
Gọi $H$ là trung điểm của cạnh $AB$. Vì tam giác $SAB$ cân tại $S$ nên $$\begin{aligned}
S_{SAB}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot SH&\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{3}=\dfrac{a}{2}\cdot SH\\
&\Leftrightarrow SH=\dfrac{2a}{3}.
\end{aligned}$$
Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$, khi đó $SO$ là đường cao của hình chóp.
Xét tam giác vuông $SOH$ ta có $$SO=\sqrt{SH^2-OH^2}=\sqrt{\left(\dfrac{2a}{3}\right)^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}=\dfrac{a\sqrt{7}}{6}.$$
Vậy $\begin{aligned}[t]V_{S.ABCD}&=\dfrac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot SO\\ &=\dfrac{1}{3}\cdot a^2\cdot\dfrac{a\sqrt{7}}{6}=\dfrac{a^3\sqrt{7}}{18}.\end{aligned}$