Ngân hàng bài tập
S
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $y=\dfrac{3}{4}x^4-(m-1)x^2-\dfrac{1}{4x^4}$ đồng biến trên khoảng $(0;+\infty)$?
 | $4$ |
 | $2$ |
 | $1$ |
 | $3$ |
1 lời giải
Chọn phương án D.
Ta có $y'=3x^3+2(1-m)x+\dfrac{1}{x^5}$.
Hàm số đồng biến trên khoảng $(0;+\infty)$ khi và chỉ khi $$\begin{aligned}
y'\geq0,\,\forall x>0&\Leftrightarrow3x^3+2(1-m)x+\dfrac{1}{x^5}\geq0,\,\forall x>0\\
&\Leftrightarrow3x^3+2x+\dfrac{1}{x^5}\geq2mx,\,\forall x>0\\
&\Leftrightarrow\dfrac{3x^2}{2}+1+\dfrac{1}{2x^6}\geq m,\,\forall x>0.
\end{aligned}$$
y'\geq0,\,\forall x>0&\Leftrightarrow3x^3+2(1-m)x+\dfrac{1}{x^5}\geq0,\,\forall x>0\\
&\Leftrightarrow3x^3+2x+\dfrac{1}{x^5}\geq2mx,\,\forall x>0\\
&\Leftrightarrow\dfrac{3x^2}{2}+1+\dfrac{1}{2x^6}\geq m,\,\forall x>0.
\end{aligned}$$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có $$\begin{array}{lrll}
&\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{1}{2x^6}&\geq&4\sqrt[4]{\dfrac{x^2}{2}\cdot\dfrac{x^2}{2}\cdot\dfrac{x^2}{2}\cdot\dfrac{1}{2x^6}}\\
\Leftrightarrow&\dfrac{3x^2}{2}+\dfrac{1}{2x^6}&\geq&2\\
\Leftrightarrow&\dfrac{3x^2}{2}+1+\dfrac{1}{2x^6}&\geq&3.
\end{array}$$
Suy ra $m\leq3$. Vì $m$ nguyên dương nên $m\in\left\{1;2;3\right\}$.
Vậy có $3$ giá trị nguyên dương $m$ thỏa đề.