Ngân hàng bài tập
S
Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) của hàm số \(f(x)=x+\dfrac{2}{x-1}\) trên khoảng \((1;+\infty)\).
 | \(m=1-2\sqrt{2}\) |
 | \(m=1+2\sqrt{2}\) |
 | \(m=1-\sqrt{2}\) |
 | \(m=1+\sqrt{2}\) |
1 lời giải
Chọn phương án B.
Ta có \(f(x)=(x-1)+\dfrac{2}{x-1}+1\).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \(x-1\) và \(\dfrac{2}{x-1}\) ta có $$\begin{eqnarray*}
&(x-1)+\dfrac{2}{x-1}&\geq2\sqrt{(x-1)\cdot\dfrac{2}{x-1}}\\
\Leftrightarrow&(x-1)+\dfrac{2}{x-1}&\geq2\sqrt{2}\\
\Leftrightarrow&(x-1)+\dfrac{2}{x-1}+1&\geq2\sqrt{2}+1\\
\Leftrightarrow&f(x)&\geq2\sqrt{2}+1.
\end{eqnarray*}$$
Dấu "=" xảy ra khi $$\begin{eqnarray*}
&(x-1)&=\dfrac{2}{x-1}\\
\Leftrightarrow&(x-1)^2&=2\\
\Leftrightarrow&x-1&=\sqrt{2}\qquad(x-1>0)\\
\Leftrightarrow&x&=1+\sqrt{2}.
\end{eqnarray*}$$
&(x-1)&=\dfrac{2}{x-1}\\
\Leftrightarrow&(x-1)^2&=2\\
\Leftrightarrow&x-1&=\sqrt{2}\qquad(x-1>0)\\
\Leftrightarrow&x&=1+\sqrt{2}.
\end{eqnarray*}$$
Vậy \(m=1+2\sqrt{2}\).