Ngân hàng bài tập
SS
Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) của hàm số \(f(x)=\dfrac{x^2+32}{4(x-2)}\) trên khoảng \((2;+\infty)\).
 | \(m=\dfrac{1}{2}\) |
 | \(m=\dfrac{7}{2}\) |
 | \(m=4\) |
 | \(m=8\) |
1 lời giải
Chọn phương án C.
\(\begin{aligned}
f(x)&=\dfrac{x^2-4+36}{4(x-2)}\\
&=\dfrac{x^2-4}{4(x-2)}+\dfrac{36}{4(x-2)}\\
&=\dfrac{x+2}{4}+\dfrac{9}{x-2}\\
&=\dfrac{(x-2)+4}{4}+\dfrac{9}{x-2}\\
&=\dfrac{x-2}{4}+1+\dfrac{9}{x-2}.
\end{aligned}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \(\dfrac{x-2}{4}\) và \(\dfrac{9}{x-2}\) ta có $$\begin{eqnarray*}
&\dfrac{x-2}{4}+\dfrac{9}{x-2}&\geq2\sqrt{\dfrac{x-2}{4}\cdot\dfrac{9}{x-2}}\\
\Leftrightarrow&\dfrac{x-2}{4}+\dfrac{9}{x-2}&\geq3\\
\Leftrightarrow&\dfrac{x-2}{4}+\dfrac{9}{x-2}+1&\geq4\\
\Leftrightarrow&f(x)&\geq4.
\end{eqnarray*}$$
Dấu "=" xảy ra khi $$\begin{eqnarray*}
&\dfrac{x-2}{4}&=\dfrac{9}{x-2}\\
\Leftrightarrow&(x-2)^2&=36\\
\Leftrightarrow&x-2&=6\qquad(x>2)\\
\Leftrightarrow&x&=8.
\end{eqnarray*}$$
&\dfrac{x-2}{4}&=\dfrac{9}{x-2}\\
\Leftrightarrow&(x-2)^2&=36\\
\Leftrightarrow&x-2&=6\qquad(x>2)\\
\Leftrightarrow&x&=8.
\end{eqnarray*}$$
Vậy \(m=4\).